Apja Horatio Groube tiszteletes volt: az egyik első európai származású ember, aki a Taranaki nevű területen megtelepedett. Nem sokkal azok után, hogy Thomas megszületett, a családnak a fehér emberek maorikkal való összetűzései miatt el kellett hagynia a vidéket: az ausztráliai Melbourne-ben kezdtek új életet.

Később a fiú is az ausztrál hazai krikettben alkotott maradandót: ott a Kelet-Melbourne-i Krikettklub játékosaként például 1878 és 1885 között a Victoria állam szövetsége által rendezett meccseken 2350 futást gyűjtött be, 44-es átlaggal. Legjobb idénye az 1878–1879-es volt, amikor 6 játékrészben 466 futásig jutott, háromszor ki sem esett, és volt legalább egy százasa is. Az 1882–1883-as és az 1883–1884-es szezont is 50 fölötti átlaggal zárta. Részese volt az évtized egyik legemlékezetesebb helyi mérkőzésének is, ahol a Kelet- és a Dél-Melbourne vívott egy kupadöntőt egymással: erről a The Weekly Times visszaemlékezése azt írja, ez a mérkőzés négy szombaton és nyolc estén át tartott (de hogy ezt hogyan kell érteni, azt nem tudjuk), és 30 000 néző látogatott ki rá. A keletiek második játékrészében már 9 kapu elveszett, a csapat pedig 186-on állt, amikor Groube és George Gordon még 174-et adott hozzá ehhez utolsó kapus társulásként. Groube-ot végül John Trumble dobta ki, de a meccset a klubja később megnyerte.

Groube néhány alkalommal játszott a Victoria állami csapatban is, 1880-ban pedig bekerült abba a 11-be, akik pályára léptek a világtörténelem első olyan tesztjén, amit Angliában játszottak – itt viszont csak 11+0 futást ért el.

Sok éven át a fent említett The Weekly Times című lapba írt jegyzeteket Öreg Krikettező álnéven, sőt, a ligarögbi vagy az ausztrál futball témájában is, de olyankor már Csavargónak hívta magát. Érdekelte a zene is, sőt, több mint 30 (más forrás szerint 40) éven át az auburni Ágoston-rendi gyülekezeti templom kórusvezetőjeként is tevékenykedett.

Halála előtt Blanche Gertrude Jean Walstab volt a felesége, bár egy nem biztos, hogy 100%-osan megbízható forrás szerint korábban már egy másik nővel is kötött házasságot. Három fiúgyermeket hagyott maga után.