A Duckworth–Lewis–Stern-eljárás
Mi ez?
A Duckworth–Lewis–Stern-eljárás (röviden DLS, korábbi nevén csak Duckworth–Lewis-eljárás) arra jó, hogy a rossz körülmények (leggyakrabban eső) miatt lerövidült (de le nem mondott) korlátozott játszmaszámú mérkőzéseken ennek segítségével meg legyen határozva, hogy hány pontot kell elérnie a második csapatnak a holtversenyhez vagy a győzelemhez.
Elevenítsünk fel két fogalmat: a menedék az a pontszám, amit ha a második csapat elér, akkor megmenekül a vereségtől (minimum a holtverseny már megvan), a cél pedig az a pontszám, amit ha elérnek, akkor győznek. Tehát: cél=menedék + 1. Alapesetben, amikor nincs megszakítás, akkor tehát a második csapat menedéke az pont egyenlő az első csapat által elért pontszámmal.
Visszatérve a DLS-hez: matematikai értelemben tulajdonképpen egy függvényről van szó, aminek bemenete az első csapat által elért pontszám, illetve a játékmegszakítások különféle adatai, kimenete pedig egyetlen egész szám, ami a második csapat célja. Először akkor számolják ki, amikor véget ért az első csapat játékrésze, de ha a második játékrész során újabb megszakítások történnek (mondjuk többször elered és eláll az eső), akkor újra meg újra ki kell számolni a friss értékét.
Például: van egy mérkőzés, amit játékrészenként 50 játszmásra terveztek, de mondjuk 40 játszma után elered az eső, ezért leáll a játék. Mire folytatni lehet, elfogyott sok idő, ezért úgy döntenek, véget ér az első félidő, a másodikból pedig már csak 30 játszma lesz hátra. Az első csapat 200 pontot ért el: hány pont kell a másodiknak a győzelemhez? Ilyen kérdésekre ad tehát választ ez az eljárás.
Ebben a lexikonbejegyzésben végig egynapos nemzetközi (ENN) krikettel fogunk példálózni, de az elmélet ugyanez Húsz20-ban vagy más A-listás meccseken is.
Miért nem jó ehelyett az elsőre logikusnak tűnő egyszerű arányosítás?
Az embernek elsőre az jut eszébe, hogy nyilván az elérendő pontszámot arányosítsuk azzal, hogy hány játszma áll a második csapat rendelkezésére, és kész. Az előző példánál maradva: az első csapat 40 játszma alatt ért el 200 pontot, akkor a másodiknak a 30 játszma alatt ennek háromnegyede, azaz 150 pont a célja (vagy a menedéke, ekkor a cél 151).
Ez azonban rendkívül rossz ötlet. Miért?
A krikettről általánosságban elmondható, hogy két nagy ellentétes stratégia létezik az ütésben: a konzervatív (mondhatnánk azt is: fontolva haladó) és az agresszív. Az első a biztonságra törekszik olyan áron, hogy lassabban halad a pontszerzésben, az utóbbi gyorsabb pontszerzésre törekszik, viszont ezzel sokat kockáztat, így gyorsabban esnek ki az ütőjátékosok. Több évszázados tapasztalat, hogy ha van elég idő, akkor egyértelműen igaz a lassan járj, tovább érsz elv, vagyis fontolva haladva végül több pontot lehet szerezni, mint agresszívan. A tesztben ezért mindmáig jellemző a konzervatív stílus. Igen ám, de mi van, ha nincs idő ilyesmire, mert korlátozott a játszmaszám? Olyankor bizony többször célravezetőbb az agresszivitás. Egy ENN-félidő elején még lehet viszonylag konzervatívan játszani, nehogy mindjárt az elején kiessen sok ütős, de minél közelebb a félidő vége, annál agresszívebbé válnak az ütősök, annál gyorsabban szerzik a pontokat.
Mindez azt jelenti, hogy a pontszerzés nem egyenletesen halad az időben, hanem általában a játékrész vége felé gyorsul.
Képzeljünk el egy egyszerűbb példát, mint az előző. Most is 40 játszma után ered el az eső az első félidőben, de most úgy rövidül le az idő, hogy a második csapatnak is pont 40 játszma jut. Az arányosítás azt mondatná velünk, hogy hát akkor egy per egy, azaz ugyanannyi pont a menedék a második csapat számára, mint amennyit az első elért. Ez azonban hatalmas igazságtalanság az első csapattal szemben: ők ugyanis nem tudták, hogy meg fog szakadni a játékrészük 40 játszma után, ezért tartalékolták az agresszivitást a végére: valószínűleg arányaiban több pontot szereztek volna az utolsó 10 játszmában, mint előtte. A második csapat viszont már előre tudja, hogy nekik 40 játszmájuk lesz, ezért ehhez igazodva tudják időzíteni az agresszivitást, és előbb megkezdeni az agresszív játékot. Így sokkal könnyebben elérik azt a pontszámot, amennyit az első csapat elért, pedig ugyanannyi idejük volt rá.
Az ehhez hasonló igazságtalanságokat küszöböli ki a DLS-eljárás: ebben a példában a DLS-sel kiszámolt menedék a második csapat számára magasabb lenne, mint amennyit az első csapat elért.
De lehetnek olyan példák is, amikor csökken a cél a második csapat számára, például amikor az első játékrészben nincs megszakítás, csak a másodikban ered el az eső. De akkor sem mindegy, hogy hány kapujuk volt még (vagyis hány ütősük nem esett még ki), amikor a megszakítás történt, hiszen ha több kapujuk volt, akkor a kieső időben valószínűleg több pontot tudtak volna szerezni, mert több kapuval többet mertek volna kockáztatni. A DLS-eljárás ezt is figyelembe veszi.
Végezetül: akkor is használható a DLS, amikor a második játékrészt menet közben meg kell szakítani, és aztán kiderül, hogy nem is lehet már folytatni. Ekkor a DLS-sel kiszámolják, hogy mennyi lett volna ennyi idő alatt a második csapat célja: ha ezt a pontszámot elérte, akkor utólag győztesnek nyilvánítják őket, ha éppen a menedéket (cél mínusz 1) érték el, akkor holtverseny az eredmény, ha még ezt sem érték el, akkor utólag kijelentik, hogy az első csapat nyert.
Mi tehát a DLS-függvény képlete?
Legyünk túl mindjárt az elején a rossz híren: nem mondjuk meg a képletet. Azért, mert mi sem tudjuk. Azért, mert titkos. Ráadásul még állandóan változik is, mert időről időre figyelembe veszik a friss mérkőzések statisztikáit, és ahhoz igazítják hozzá.
De ha magát a képletet nem is tudjuk, azért sokmindent tudunk róla. Lássuk!
Először is a legfontosabb tudnivaló, hogy ma két különböző DLS-eljárás van használatban: a sztenderd és a professzionális kiadás. A kettő eléggé hasonló, de mégis más. A sztenderd kiadás, amit az alacsonyabb osztályú és az amatőr mérkőzéseken használnak, teljesen nyilvános, míg a professzionális kiadás, amit a komoly meccseken (köztük az összes hivatalos egynapos nemzetközi (ENN) és nemzetközi Húsz20 (NH20) alkalmával) használnak, na az a titkos. Ezért a következőkben a sztenderd kiadás működését ismertetjük, és utána rátérünk arra, hogy miben más a professzionális.
A sztenderd DLS-eljárás működése
Hogy használni tudjuk a DLS-eljárást, egy nagyon fontos alapfogalmat kell megismerni: a csapatok számára rendelkezésre álló erőforrások fogalmát. Röviden mondva: erőforrás az, amit kihasználva a csapat pontokat tud szerezni. Konkrétan két dolog számít erőforrásnak: a hátralevő dobások és a még ki nem esett ütőjátékosok, azaz máshogy tekintve: a maradék meglevő kapuk.
A meccs kezdetén, hacsak már mindjárt a kezdéskor nincs esőszünet, az első csapatnak 300 dobása (50 játszma) és 10 kapuja van hátra: ez az összes erőforrásuk 100%-a. A DLS-számításhoz szükséges tudni, hogy hány dobás és hány kapu pontosan az erőforrások hány százalékát jelenti. Amint az előzőekben láttuk, ez a százalék nem lineárisan csökken, ahogy fogynak a hátralevő dobások: például ha esetleg 10 kapuval eljutna a csapat addig, hogy már csak 10 játszma (60 dobás) van hátra, akkor nem az erőforrásaik 20%-a van meg, hanem jóval több, mert agresszíven játszva több pontot tudnak szerezni ennyi erőforrásból.
Nem lehet tehát egyszerű arányosítással kiszámolni, hogy hány dobás (hány játszma) és hány kapu hány százaléknyi erőforrást jelent. Akkor honnan lehet tudni? A válasz: létezik egy nagy-nagy táblázat, és abból. Ez a táblázat éppen 300 sorból és 10 oszlopból áll (illetve ha az utolsó, csupa nullákat tartalmazó sort is belevesszük, akkor 301 sorból): a sorok a hátralevő dobásokat jelentik, az oszlopok a meglevő kapukat, és akkor minden cellába bele van írva, hogy annyi dobás és annyi kapu hány százalék erőforrást jelent. A teljes táblázat letölthető itt, de egy kis részletet itt is bemutatunk belőle. A zöldre színezett cellák a mindjárt következő példában említett százalékokat jelzik.
Most, hogy már értjük, mi az az erőforrás, ki kell számolnunk, mennyi erőforrás veszik el egy-egy csapat számára, amikor játékmegszakítás van. Elméletileg három különbözőnek látszó megszakítás képzelhető el (egyébként mindegyiket szinte mindig az eső okozza):
1. Késői kezdés miatt eleve rövidebb lesz a játékrész, mint amilyenre eredetileg tervezték.
2. Folyik a játék, majd megszakad, de később folytatják, viszont lecsökkentik a hátralevő játszmák számát.
3. Hamarabb véget ér a játékrész, mint tervezték.
Valójában mindhárom típus azonosan kezelendő: az elsőt lehet úgy tekinteni, mintha elkezdődne a játékrész, és azonnal meg is szakadna, mintha a 2. pontban lennénk, a harmadikat meg lehet úgy tekinteni, hogy megszakad a játékrész, és akkor folytatják (nulla ideig), amikor már csak nulla dobás van hátra.
Így tekintve tehát minden időszaknak, amikor áll a játék, van egy eleje és van egy vége. Innentől kezdve igen egyszerű kiszámolni az elveszett erőforrások mennyiségét: megkeressük a táblázatban a megszakítás elején és a megszakítás végén érvényes százalékokat, és ezt a kettőt kivonjuk egymásból. Így minden megszakításra kapunk egyetlen százalékot. Ha esetleg egy játékrészben több megszakítás volt, akkor ezt mindegyikre kiszámoljuk, végül összeadjuk, és megkapjuk, hogy összesen a félidőben hány százalék erőforrást vesztett el az adott csapat. Mielőtt ezt az eredményt felhasználnánk a további számításokhoz, nézzünk egy példát!
1. példa
Legyen mindjárt egy olyan példánk, amikor mindhárom típusú megszakítás előfordul! A félidő elején később kezdtek, mert esett az eső, aztán játék közben megint volt egy esőszünet, végül hamarabb vége is lett.
1. Tegyük fel, hogy a félidő elején 5 játszma elveszett. Ekkor az első megszakítás elején 50 játszma és 10 kapu állt (volna) a csapat rendelkezésére (100%), a megszakítás végén 45 játszma és 10 kapu, azaz a táblázat szerint 95%: elveszett tehát 5% erőforrás.
2. Ezután zajlott a játék, és mondjuk időközben kiesett 3 ütőjátékosuk, vagyis 7 kapujuk maradt, amikor 27 hátralevő játszmánál ismét kényszerszünetet kellett tartani, és amikor folytatták, már csak 20 játszmára volt idő. Ekkor a megszakítás elején 27 játszma és 7 kapu, azaz 58,4% erőforrásuk volt, a megszakítás végén 20 játszma és 7 kapu, vagyis 49,1% erőforrás: ekkor elveszett tehát 9,3%.
3. Aztán a példában vegyük úgy, hogy elvesztettek még két kaput, mire elértek addig, hogy már csak 6 játszma volt hátra a játékrészből, de ekkor ismét eleredt az eső, és le kellett fújni az egész félidőt. Ennek az utolsó megszakításnak az elején tehát 6 játszmájuk és 5 kapujuk volt, ami 17,8%-nak felel meg, a megszakítás végén pedig 0 játszma és 5 kapu állt rendelkezésükre, ami értelemszerűen 0%. Így ebben a megszakításban 17,8% erőforrás veszett el.
Vagyis: ez a csapat összesen az erőforrásainak 32,1%-át vesztette el.
A számítás vége
Innentől már egyszerű dolgunk van. Nevezzük P-nek az első csapat által elért pontszámot! Legyen ezután E1 az első csapat számára el nem veszett erőforrások aránya, azaz ha az első félidőben nem volt megszakítás, akkor E1=100%, ha volt megszakítás, akkor pedig a 100%-ból vonjuk ki az előbb kiszámolt elveszett erőforrásokat. Ugyanígy legyen E2 a második csapat számára el nem veszett erőforrások mennyisége. Attól függően, hogy hogyan viszonyul egymáshoz ez a két szám, három eset lehetséges:
1. Ha E1 > E2, akkor a második csapat menedéke: M = P × E2/E1 alsó egészrésze.
2. Ha E1 = E2, akkor tehát egyenlő erőforrás állt a két csapat rendelkezésére, ezért a második csapat menedéke simán egyenlő lesz P-vel, mint bármelyik rendes meccsen, mintha mi sem történt volna.
3. Ha E1 < E2, akkor a menedék: M = P + G50 × (E2 - E1) / 100 alsó egészrésze.
Már minden világos, csak az nem, hogy mi az a G50 ott a harmadik pontban?!
A G50 nem más, mint egy konkrét szám: 2009 óta a Nemzetközi Krikett-tanács teljes jogú tagjai által játszott ENN-mérkőzésen G50=245, de társult országok meccsein, női ENN-eken vagy 19A-s meccseken G50=200.
Ez a konkrét szám igazából azt jelenti, hogy átlagosan hány pontot szokott elérni az első csapat egy ENN-mérkőzésen, amikor nincs semmilyen játékmegszakítás. Ez azért jó, mert ha megnézzük a 3. esetet, azt látjuk, hogy a második csapatnak több erőforrása volt, mint az elsőnek, ezért a menedék úgy számolódik, hogy először el kell érnie azt a pontszámot, amit az első csapat is elért, utána pedig a többleterőforrásaiból úgy kell gazdálkodnia, mint egy átlagosan teljesítő csapat.
És kész is, ennyi volt a DLS-eljárás sztenderd kiadása. De azért nézzünk meg két példát erre a számítás végére is!
2. példa
Tegyük fel, hogy az előző példa egy meccs első félidejére vonatkozott, tehát az első csapat elvesztette az erőforrások 32,1%-át, vagyis E1 = 100% - 32,1% = 67,9%. Mondjuk ez a csapat így 176 pontot teljesített, összesen ha megnézzük, 32 játszma alatt. Tegyük fel, hogy az időveszteség miatt a 2. csapatnak is csak 32 játszmája lesz: ennyivel később kezdődik a játékrésze (de további megszakítás nem lesz). Ez azt jelenti, hogy nekik a megszakítás elején volt 100% erőforrásuk, a végén 32 játszma és 10 kapu, vagyis 78,3% erőforrás. Elveszett tehát 21,7%, így E2 = 78,3%.
Mivel E1 < E2, ezért a 3. pont képletét alkalmazzuk: a 2. csapat menedéke:
M = 176 + 245 × (78,3 - 67,9) / 100 lefelé kerekítve, vagyis 201 pont. Tehát ha a második csapat legfeljebb 200 pontot ér el, akkor veszít, ha éppen 201-et, akkor holtverseny lesz, és ha 201-nél többet, akkor nyer.
3. példa
Tegyük fel, hogy az első csapat 250 pontot ért el úgy, hogy nem volt megszakítás az első félidőben, de aztán a második félidő úgy alakult, ahogy az első példa is leírta, és a második csapat elvesztette erőforrásainak 32,1%-át. Ekkor E1 = 100% és E2 = 67,9%. Mivel az első a nagyobb, ezért az 1-et pontot kell alkalmazni:
M = 250 × 67,9 / 100 alsó egészrésze, azaz 169 pont. Tehát ha a második csapat 169-nél kevesebb ponton állt, amikor idő előtt véget ért a mérkőzés, akkor utólag az első csapatot nyilvánítják győztesnek, ha éppen 169 pontja volt, akkor holtverseny lesz, ha pedig 169-nél többet ért el, akkor ők nyernek.
A professzionális DLS-eljárás működése
Ezt a részt érdemes csak akkor elolvasni, ha már a sztenderd DLS működését elolvastad és megértetted. A professzionális kiadás működése ugyanis igen hasonló ahhoz, ezért nem írjuk le teljes részletességgel, csak a különbségeket. Ilyen különbség lényegében kettő van.
Az első különbség, hogy nem egy darab 301 soros, 10 oszlopos táblázat létezik, hanem annyi darab ilyen nagy táblázat van, ahányféle pontot az első csapat elérhet! Tehát van egy külön erőforrástábla arra az esetre, ha az első csapat 236 pontot ér el, van külön tábla arra, amikor 291-et és így tovább. Ezek a táblázatok azonban nem nyilvánosak, ezért a professzionális eljárást csak az tudja alkalmazni, aki hozzáfér a megfelelő szoftverrel ellátott számítógéphez. A nemzetközi mérkőzéseken, ahol a professzionális kiadás használata kötelező, ott tehát rendelkezésre kell állnia ilyen számítógépnek vagy ilyen gép elérési lehetőségének. Az erőforrástáblázatok ráadásul nem is állandóak, mert a krikett változik: manapság például nagyobb pontszámok jellemzőek, mint egy-két évtizede, ezért a (titkos) táblákat időről időre frissíteni szokták.
A másik különbség pedig az, hogy el lehet feledkezni a G50-ről, egyszerűsödik a végső képlet. Nincs meg az a három eset, ami a sztenderdben megvolt, mindig azt a képletet kell alkalmazni, hogy a menedék: M = P × E2/E1 alsó egészrésze.
Az eredmény közlése DLS esetén
Megszoktuk, hogy normál esetben az első csapat csak valahány futással, a második csak valahány kapuval nyerhet, és ha az első nyer, akkor a két csapat pontszámát ki kell vonni egymásból, és annyi futással nyertek. Ám ha DLS-eljárást alkalmaznak, ez a rendszer is felborul egy kicsit.
Ha a szünetben, esetleg a második félidő során DLS-eljárással új célt számolnak a második csapatnak, majd a mérkőzés rendben befejeződik, akkor a normál esethez hasonlóan most is igaz, hogy ha a második csapat elérte ezt a célt, akkor annyi kapuval nyer, ahány ütősük nem esett még ki a kieshető 10-ből, és az is igaz, hogy ha éppen a menedéket (azaz a célnál eggyel kisebb pontszámot) éri el, akkor holtverseny. Ha nem éri el a menedéket sem, akkor az első csapat nyer, de most nem úgy kell kiszámolni, hogy hány futással, hogy kivonjuk egymásból a két pontszámot, hanem úgy, hogy az újraszámolt menedékből vonjuk ki a második csapat pontszámát! Tehát úgy kell tekinteni, mintha az első csapat annyi pontot ért volna el, amennyi az újraszámolt menedék értéke.
Még furcsább eset van, ha a második félidő megszakad, nem játsszák végig, és utólag kell kihirdetni a győztest a DLS-számítás alapján. Ekkor ugyanis megint úgy kell tekinteni, mintha az első csapat annyi pontot ért volna el, mint a kiszámolt menedék, és ennek és a második csapat elért pontszámának kell venni a különbségét. Ha megkaptuk ezt a számot, akkor akár az első csapat nyert, akár a második, mindenképpen azt kell mondani, hogy ennyi futással nyertek. Tehát ha a második csapat győz, akkor is valahány futással nyer, nem valahány kapuval!
A büntetőpontok számítási módja DLS-ben
Nagyon ritka eset, hogy valamelyik csapat 5-pontos büntetést kapna, de mi van, ha mégis ez történik? Hogyan befolyásolja ez a számítást?
Négy eset van, ebből három igen egyszerű:
1. Ha az első félidőben az ütőcsapat javára írnak 5 pontot, akkor ezeket rendes szerzett pontnak kell tekinteni, és úgy számolni majd a jövőben.
2. Ha az első félidőben a dobócsapat kap 5 pontot, akkor a számítás ezeket nem veszi figyelembe, csak egyszerűen a második félidőt 5 ponttal fogják elkezdeni (illetve ha többször 5-öt kapnak, akkor annyival).
3. Ha a második félidőben az ütőcsapat kap 5 pontot, akkor azok rendesen szerzett pontnak számítanak, a DLS-eljárásba nem szólnak bele.
4. Ha a második félidőben a dobócsapat kap 5 pontot, akkor emiatt nem kell teljesen újraszámolni a DLS-eljárással már kiszámolt célt, hanem egyszerűen hozzá kell adni 5 pontot ehhez a célhoz. Ha esetleg ezután megint újabb megszakítás jön, akkor az új cél úgy számítandó, hogy az első csapat büntetőpontok nélküli eredményét szorozzák be a megfelelő erőforrásarányokkal, majd a végén adnak hozzá annyiszor 5 pontot, ahányszor 5 pontot írtak a javukra időközben.
A sztenderd erőforrástáblázat matematikai közelítése
Mint említettük, a sztenderd erőforrástáblázat nyilvános. Érdekes lenne tudni: vajon nem helyettesíthető-e egyetlen viszonylag egyszerű képlettel az egész? A Krikettgalaxis ezért számításokat végzett, és talált egy majdnem jó módszert, amivel legfeljebb 0,1 százalékpontos eltéréssel az összes százalékot megkaphatjuk.
Érdemes egy pillantást vetni az alábbi ábrára, ez kapunként külön vonallal mutatja, hogy hány dobás hány erőforrásszázalékot jelent.
Egy kis matematikai tapasztalattal észre lehet venni (de utána is lehet olvasni), hogy ezek valószínűleg egyszerű exponenciális függvények valamilyen negatív kitevővel:
Ebben a képletben tehát d jelöli a dobások számát, k1 és k2 pedig állandók. Nyilván ez a függvény egy adott kapuszámra igaz, de egy másik kapuszámra az állandók értéke más-más. Megjegyzés: a k2 azért a nevezőben szerepel, hogy emberközelibb számokat lássunk majd, ne ilyen 0,00...-szerű akármiket.
A Krikettgalaxis tehát végzett egy számítást, hogy adott kapuszámra milyen k1 és k2 értékek lehetnek azok, amelyekkel a legjobban közelíthető a sztenderd erőforrástáblázat. Mi az eltérés minimalizálását most úgy csináltuk, hogy azokat az állandókat kerestük, amire a függvény értékét minden dobásra kiszámoljuk, meghatározzuk az eltérését a táblázat számától, és ezeknek az eltéréseknek vesszük a négyzetösszegét, és ezt minimalizáltuk. Számításaink szerint ezek az állandók használhatók legjobban a képletben:
| Kapu | k1 | k2 |
|---|---|---|
| 10 | 134,0 | 218,9 |
| 9 | 118,6 | 193,8 |
| 8 | 101,9 | 166,4 |
| 7 | 84,5 | 138,1 |
| 6 | 67,0 | 109,5 |
| 5 | 50,3 | 82,2 |
| 4 | 35,1 | 57,2 |
| 3 | 22,0 | 36,0 |
| 2 | 11,9 | 19,3 |
| 1 | 4,7 | 7,8 |
